对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是

问题描述：

对于在[a，b]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[a，b]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[a，b]上是非接近的．现在有两个函数f（x）=log_t（x-3t）与g（x）=log_t（

1

x−t

）（t＞0且t≠1），现给定区间[t+2，t+3]．
（1）若t=

1

2

，判断f（x）与g（x）是否在给定区间上接近；
（2）若f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上都有意义，求t的取值范围；
（3）讨论f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是否是接近的．

---

最佳答案：

（1）当t＝

1

2

时，f（x）-g（x）=log

1

2

[（x-

3

2

）（x-

1

2

）]=log

1

2

[(x−1)2−

1

4

]，
令h（x）=log

1

2

[(x−1)2−

1

4

]，
当x∈[

5

2

，

7

2

]时，h（x）∈[log

1

2

6，-1]，
即|f（x）-g（x）|≥1，
f（x）与g（x）是否在给定区间上是非接近的；
（2）由题意知，t＞0且t≠1，t+2-3t＞0，t+2-t＞0
∴0＜t＜1                                                
（3）∵|f（x）-g（x）|=|logt（x2-4tx+3t2）|
假设f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的，
则有|logt（x2-4tx+3t2）|≤1
∴-1≤logt（x2-4tx+3t2）≤1…*
令G（x）=logt（x2-4tx+3t2），
当0＜t＜1时，[t+2，t+3]在x=2t的右侧，
即G（x）=logt（x2-4tx+3t2）在[t+2，t+3]上为减函数，
∴G（x）max=logt（4-4t），
∴G（x）min=logt（9-6t），
所以由（*）式可得0＜t＜1，logt（4-4t）≤1，logt（9-6t）≥-1，
解得：0＜t≤

9− 57

12

因此，当0＜t≤

9− 57

12

时，f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是接近的；当t＞

9− 57

12

时，
f（x）与g（x）在给定区间[t+2，t+3]上是非接近的．…（14分）