已知一隧道的截面是一个半椭圆面(如图所示),要保证车辆正常通行,车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离,现有一货车,车宽4米,车高2.5米.(1)若此隧道为单向通行,经测量隧道的

已知一隧道的截面是一个半椭圆面(如图所示),要保证车辆正常通行,车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离,现有一货车,车宽4米,车高2.5米.(1)若此隧道为单向通行,经测量隧道的

问题描述:

已知一隧道的截面是一个半椭圆面(如图所示),要保证车辆正常通行,车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离,现有一货车,车宽4米,车高2.5米.
(1)若此隧道为单向通行,经测量隧道的跨度是10米,则应如何设计
隧道才能保证此货车正常通行?
(2)圆可以看作是长轴短轴相等的特殊椭圆,类比圆面积公式,请你推测椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的面积公式.并问,当隧道为双向通行(车道间的距离忽略不记)时,要使此货车安全通过,应如何设计隧道,才会使同等隧道长度下开凿的土方量最小?

最佳答案:

(1)以长轴所在直线为x轴,建立坐标系,设椭圆方程为

x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)则a=5,椭圆过(2,3),代入可得b=
5
21
7

∴隧道顶部离地面至少
5
21
7
米;
(2)椭圆的面积公式为πab,
∵椭圆过点(4,3),∴
16
a2
+
9
b2
=1≥2
16×9
a2b2

当且仅当
16
a2
=
9
b2
=
1
2
时取等号,∴a=4
2
,b=3
作业帮用户 2017-09-27
问题解析
(1)以长轴所在直线为x轴,建立坐标系,求出椭圆方程,即可求出结论;
(2)利用
16
a2
+
9
b2
=1≥2
16×9
a2b2
,即可得出结论.
名师点评
本题考点: 椭圆的应用.
考点点评: 本题考查椭圆方程,考查学生利用数学知识解决实际问题的能力,属于中档题.
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