已知数列{an}满足3Sn=（n+2）an（n∈N*），其中Sn为{an}的前n项和，a1=2．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）记数列{1an}的前n项和为Tn是否存在无限集合M，使得当n∈M时

问题描述：

已知数列{a_n}满足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n为{a_n}的前n项和，a₁=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列{

1

an

}的前n项和为T_n是否存在无限集合M，使得当n∈M时，总有|Tn-1|<

1

10

成立？若存在，请找出一个这样的集合；若不存在，请说明理由．

---

最佳答案：

（1）由3Sn=（n+2）an得3Sn-1=（n+1）an-1（n≥2），
二式相减得3an=（n+2）an-（n+1）an-1f（x）
∴

an

an-1

=

n+1

n-1

（n≥2）
∴

an-1

an-2

=

n

n-2

；…；

a3

a2

=

4

2

；

a2

a1

=

3

1

；a1=2
叠乘得an=n（n+1）；
（2）

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

，
令|Tn-1|=|

n

n+1

-1|=

1

n+1

<

1

10

得n>9
故满足条件的M存在，集合M={n|n>9，n∈N*}．