问题描述:
能够找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数吗?若能够,请举出一例;若不能够;请说明理由. |
最佳答案:
偶数的平方能被4整除,奇数的平方被4除余1,即正整数的平方被4除余0或1. 若存在正整数满足n i n j +2002=m 2 ;i,j=1,2,3,4,n是正整数; ∵2002被4除余2, ∴n i n j 被4除应余2或3. (1)若正整数n 1 ,n 2 ,n 3 ,n 4 中有两个是偶数, 设n 1 ,n 2 是偶数,则n 1 n 2 +2002被4除余2,与正整数的平方被4除余0或1不符, 故正整数n 1 ,n 2 ,n 3 ,n 4 中至多有一个是偶数,至少有三个是奇数. (2)在这三个奇数中,被4除的余数可分为余1或3两类, 根据抽屉原则,必有两个奇数属于同一类, 则它们的乘积被4除余1,与n i n j 被4除余2或3的结论矛盾. 综上所述,不能找到这样的四个正整数,使得它们中任两个数的积与2002的和都是完全平方数. |