已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．类比椭圆，写出双曲线C′：x2a2-

问题描述：

已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值．类比椭圆，写出双曲线 C′： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1(a＞0，b＞0) 的类似性质，并加以证明．

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最佳答案：

若M、N是双曲线 C′： x 2 a 2 - y 2 b 2 =1(a＞0，b＞0) 上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，则当直线PM，PN的斜率都存在时，其乘积恒为定值 b 2 a 2 ．证明如下： 设P（m，n）是双曲线C′上的任意一点，M（x 0 ，y 0 ），N（-x 0 ，-y 0 ）是双曲线上的关于原点对称的两个点． 则 m 2 a 2 - n 2 b 2 =1 ， x 20 a 2 - y 20 b 2 =1 ， ∴ n 2 - y 20 = b 2 ( m 2 a 2 -1)- b 2 ( x 20 a 2 -1) = b 2 a 2 ( m 2 - x 20 ) ． ∴k PM •k PN = n- y 0 m- x 0 • n+ y 0 m+ x 0 = n 2 - y 20 m 2 - x 20 = b 2 a 2 为定值．