已知椭圆具有如下性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上的任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,则kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试写出双曲

已知椭圆具有如下性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上的任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,则kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试写出双曲

问题描述:

已知椭圆具有如下性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上的任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,则kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试写出双曲线
x2
a2
y2
b2
=1(a>0,b>0)具有的类似的性质,并加以证明.

最佳答案:

双曲线的类似的性质为:若M,N是双曲线

x2
a2
y2
b2
=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上的任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
下面给出证明:
设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),且
m2
a2
n2
b2
=1.
又设点P的坐标为(x,y),由kPM=
y−n
x−m
,kPN=
y+n
x+m
得kPM•kPN=
y−n
x−m
y+n
x+m
=
y2−n2
x2−m2
,①
将y2=
b2
a2
x2-b2,n2=
b2
a2
m2-b2代入①式,得kPM•kPN=
b2
a2
(定值).
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