问题描述:
设D⊂R2是有界闭集,f(x,y)是D上的连续函数,证明:f(x,y)在D上有界,且一定取到最大值和最小值.最佳答案:
(1)证明f(x)在D上有界.
利用反证法证明.
假设f(x)在有界闭区域D上无界,即∀n∈N,∃Pn∈D,使得|f(Pn)|>n.
按此方法得到点列{Pn},当n→∞时,f(Pn)→∞.
根据致密性定理:点列{Pn}为有界点列,则必然存在收敛子列,记为{Pnk},且
lim |
k→∞ |
由于D是有界闭区域,则P0∈D.
由于
lim |
n→∞ |
lim |
k→∞ |
所以
lim |
k→∞ |
另一方面,由于f(x)在点P0连续,则得
lim |
k→∞ |
这与①矛盾,
于是f(x)在D上有界.
(2)证明f(x)在D上的最大值与最小值可以取到.只给出取到最大值的证明.由(1)可得,函数f(x)在D上有界,设M=sup{f(x)|x∈D},
只要证明∃P∈D,使得f(P)=M即可.
用反证法:假设∀P∈D,均有f(P)
于是,函数
1 |
M-f(P) |
根据(1)可得,
1 |
M-f(P) |
1 |
M-f(P) |
1 |
C |
即M不是数集的上确界,矛盾.
故∃P∈D,使得f(P)=M.